ریاضیات هوش مصنوعی و علم داده؛ مبانی نظری برای درک و توسعه الگوریتم‌های هوشمند

یادگیری ماشین و یادگیری عمیق بر مجموعه‌ای از مفاهیم ریاضی استوارند. درک این مفاهیم به شما کمک می‌کند فراتر از استفاده از کتابخانه‌ها و ابزارهای آماده بروید، منطق الگوریتم‌ها را بهتر بفهمید و روش‌های مناسب‌تری برای حل مسائل انتخاب کنید.

درس ریاضیات هوش مصنوعی و علم داده با هدف آموزش مبانی ریاضی موردنیاز در این حوزه‌ها، از دو جنبه نظری و کاربردی طراحی شده است. در این درس، چهار حوزه کلیدی جبر خطی، حساب دیفرانسیل چندمتغیره، آمار و احتمال و بهینه‌سازی بررسی می‌شوند؛ مفاهیمی که در مدل‌سازی داده‌ها، آموزش شبکه‌های عصبی، تخمین پارامترهای مدل و طراحی الگوریتم‌های یادگیری نقش اساسی دارند.

در بخش جبر خطی، با مفاهیمی مانند فضای برداری، نگاشت خطی، مقادیر و بردارهای ویژه و تجزیه مقدار منفرد آشنا می‌شوید. در بخش حساب دیفرانسیل، مشتقات جزئی، گرادیان، قانون زنجیره‌ای و مشتق‌گیری خودکار را می‌آموزید. مباحث آمار و احتمال، ابزارهای لازم برای مدل‌سازی عدم قطعیت و استنتاج از داده‌ها را فراهم می‌کنند و در بخش بهینه‌سازی، با روش‌هایی آشنا می‌شوید که برای آموزش و تنظیم بسیاری از مدل‌های یادگیری ماشین به کار می‌روند.

در پایان این درس چه توانایی‌هایی کسب می‌کنید؟

• درک مفاهیم اصلی جبر خطی و ارتباط آن‌ها با نمایش داده‌ها و مدل‌های یادگیری ماشین
• آشنایی با گرادیان، مشتقات چندمتغیره و قانون زنجیره‌ای و درک نقش آن‌ها در آموزش مدل‌ها
• استفاده از مفاهیم احتمال، توزیع‌های احتمالی و آمار برای مدل‌سازی داده‌ها و تحلیل عدم قطعیت
• درک مبانی نظری تخمین پارامترها و روش‌های بیشینه درست‌نمایی و تخمین بیزی
• آشنایی با روش‌های بهینه‌سازی گرادیانی، بهینه‌سازی مقید و مفاهیم بهینه‌سازی محدب
• ایجاد پایه ریاضی مناسب برای مطالعه عمیق‌تر یادگیری ماشین، یادگیری عمیق و روش‌های پیشرفته علم داده

این درس برای دانشجویان، دانش‌آموختگان، پژوهشگران و متخصصانی مناسب است که قصد دارند دانش ریاضی خود را در زمینه هوش مصنوعی و علم داده تقویت کنند. همچنین برای افرادی که با الگوریتم‌های یادگیری ماشین کار می‌کنند و می‌خواهند مبانی نظری آن‌ها را بهتر درک کنند، می‌تواند مکمل ارزشمندی باشد.

آشنایی مقدماتی با ریاضیات دانشگاهی، به‌ویژه جبر خطی، حساب دیفرانسیل و انتگرال و احتمال، برای بهره‌گیری بهتر از این درس مفید است. با توجه به اینکه درس به مرور و سازمان‌دهی مفاهیم پایه موردنیاز هوش مصنوعی می‌پردازد، میزان تسلط موردنیاز بر این مباحث بهتر است با توجه به سطح ارائه درس و نظر استاد مشخص شود.

1. جبرخطی (۴ جلسه)
   • فضای برداری و استقلال خطی
   • پایه و رتبه
   • نگاشت خطی و ماتریس
   • حل دستگاه معادلات خطی، رگرسیون خطی
   • ضرب داخلی و نرم
   • تصویر (projection) متعامد
   • تجزیه Singular Value
   • تجزیه بردار و مقدار ویژه یک ماتریس
2. حساب دیفرانسیل (۴ جلسه)
   • توابع چند متغیره
   • مشتقات جزئی و گرادیان
   • قانون زنجیره‌ای مشتق
   • مشتق‌گیری خودکار
   • مشتقات توابع برداری
   • بسط تیلور توابع چند متغیره
3. آمار و احتمال (۶ جلسه)
   • مفهوم احتمال
   • متغیر تصادفی
   • قانون جمع احتمال و قانون کل احتمال (Law of Total Probability)
   • قانون Bayes
   • مفهوم توزیع احتمال و انواع آن (تابع جرم و تابع چگالی احتمال)
   • استقلال متغیرهای تصادفی
   • چند توزیع نمونه (categorical و گوسی)
   • تابع توزیع توام چند متغیر تصادفی
   • ممان‌های یک و چند متغیر تصادفی (میانگین، واریانس، کوواریانس، ضریب همبستگی)
   • توزیع گوسی چند متغیره
   • قانون حد مرکزی و اعداد بزرگ
   • نظریه تخمین (بیشینه درست‌نمایی و Bayes)
4. بهینه‌سازی (۴ جلسه)
   • بهینه‌سازی عددی به کمک گرادیان (کاهش گرادیان)
   • بهینه‌سازی مقید، ضرایب لاگرانژ و دوگان
   • بهینه‌سازی محدب

• تمرین‌ها: ۲۰ درصد
• آزمونک‌ها: ۲۰ درصد
• آزمون نهایی: ۶۰ درصد